L'hypothèse de Riemann : pourquoi la droite ½
Les zéros non triviaux de la fonction zêta se tiennent sur la droite ½ parce que cette droite est le centre de l'échange entre s et 1 − s, exactement comme 4,5 est le centre des paires de la grille des neuf chiffres. Le corpus lit le ½ comme une nécessité de centre, pas comme un mystère ; il déclare aussi ce qui reste à démontrer dans la langue de l'analyse.
Ce que les mathématiques établissent
FaitEn 1859, dans un mémoire de huit pages, Bernhard Riemann relie la répartition des nombres premiers aux zéros d'une fonction, ζ(s), et écrit qu'il est très probable que tous ses zéros non triviaux aient une partie réelle égale à ½. C'est l'un des sept problèmes du millénaire de l'Institut Clay ; il n'est pas démontré.
FaitLa fonction vérifie une équation qui échange s et 1 − s. Le point fixe de cet échange est ½.
La lecture du corpus ARC
ThéorèmeL'involution de la grille, φ(x) = 9 − x, ramenée sur [0, 1], a pour point fixe 4,5 / 9 = ½ : c'est la même forme que l'échange s ↔ 1 − s de Riemann (Théorème 9 du Tome I). Le corpus déclare lui-même que cette identité de forme, seule, ne prouve aucun lien de cause : elle établit que Riemann tenait l'involution sans le vocabulaire pour la nommer.
Lecture« Il a vu le ½. » Riemann a trouvé le centre ; ce qui lui manquait était la lecture du centre comme fermeture d'une paire, où le zéro est l'espace entre les deux membres. La droite critique est la trace analytique du point fixe de l'involution.
ThéorèmeUne face finie de l'hypothèse existe déjà : l'inégalité de Lagarias sur la somme des diviseurs, vérifiée par le corpus pour tous les entiers de 2 à 100 000. Si l'hypothèse était fausse, un entier la violerait, et un calcul fini le montrerait.
LectureD'où la thèse de l'auteur : si l'hypothèse ne peut jamais être tranchée, ni démontrée ni réfutée, elle est vraie.
Ce qui reste ouvert
Ce qui élèverait la lecture au rang de théorème est nommé : une dérivation où la structure de la grille entre dans l'appareil analytique et force la droite. La piste suivie passe par la fonction L de conducteur 3, où le caractère injecte les rails de la grille dans la fonction elle-même.
Pour aller plus loin
- Volume 4, chapitre 7 : Riemann en résumé
- Volume 5, chapitre 3 : les zéros de ζ
- Volume 5, chapitre 4 : le zéro non construisible
- Volume 5 complet (PDF)