Pourquoi la borne de Tsirelson vaut 2√2
La borne de Tsirelson vaut 2√2 parce qu'elle est le maximum algébrique 4 ramené par le prix de la lecture : 4 corrélations, multipliées par la constante ½, multipliées par la diagonale √2 du carré. La borne classique de Bell, 2, suit la même formule avec le côté du carré, 1, à la place de la diagonale.
Ce que la physique établit
FaitDeux particules intriquées, mesurées loin l'une de l'autre, donnent des résultats corrélés plus fortement qu'aucune théorie locale à variables cachées ne le permet : c'est le théorème de Bell (1964), confirmé par l'expérience d'Aspect (1982) jusqu'aux tests sans échappatoire de 2015.
FaitLa violation a elle-même une limite. Boris Tsirelson démontre en 1980 que la combinaison de corrélations dite CHSH ne dépasse jamais 2√2 ≈ 2,828. La physique reçue obtient ce nombre par l'algèbre des opérateurs dans un espace de Hilbert, sans dire pourquoi c'est ce nombre-là.
La lecture du corpus ARC
ThéorèmeUn protocole sans fonction d'onde ni opérateur redonne la corrélation exacte du singulet, E(a, b) = −cos θ. La paire partage un état λ sur la sphère ; Alice lit le signe de sa projection ; l'état se met à jour ; Bob lit sa projection avec un seuil μ qui appartient à son appareil de lecture. Le cosinus sort en deux lignes de la réponse linéaire de la lecture.
ThéorèmeSans le seuil μ, en lisant le signe seul, le même protocole donne 4 : la boîte de Popescu-Rohrlich, le maximum algébrique. Le seuil est ce qui ramène 4 à 2√2. « Lire le signe seul est une lecture gratuite ; la nature n'accorde pas de lecture gratuite. »
ThéorèmeLa borne se décompose en trois facteurs : 2√2 = 4 × ½ × √2. Le 4 compte les quatre corrélations de CHSH, qui répondent aux quatre paires de la grille (1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5). Le ½ est la constante k, le barycentre 4,5 rapporté à 9. Le √2 est la diagonale du carré de la figure fondatrice. Avec le côté 1 au lieu de la diagonale, on retrouve la borne classique : 4 × ½ × 1 = 2.
LectureLe passage du classique au quantique est donc exactement √2, le rapport de la diagonale au côté : la vision qui voit des objets lit le côté, la vision qui voit des relations lit la diagonale.
Ce que cette lecture ne dit pas
Le modèle n'est pas local au sens de Bell, et le théorème de Bell n'est pas contesté : la mise à jour de l'état est une mémoire relationnelle partagée, pas un signal. La version qui fait foi est Tsirelson Without Hilbert v4.1 (juillet 2026) ; la version 4.0, qui lisait le signe pur, est retirée et son erreur est publiée.
Pour aller plus loin
- Volume 7, chapitre 1 : la borne de Tsirelson sans espace de Hilbert
- Volume 7, chapitre 2 : les corrélations quantiques par projection
- Volume 7 complet (PDF)