Les nombres premiers ne sont pas aléatoires
Les nombres premiers ne sont pas jetés au hasard : au-delà de 3, ils vivent tous sur la grille 6k ± 1, que l'on fabrique par simple addition de voisins. Les composés de cette grille naissent de quatre familles dont on connaît d'avance toutes les naissances ; le premier est la position qu'aucune famille n'a adoptée.
Ce que les mathématiques établissent
FaitTout nombre premier plus grand que 3 s'écrit 6k − 1 ou 6k + 1 : un nombre qui n'est pas de cette forme est pair ou multiple de 3. Le fait est connu et figure dans les manuels ; la théorie reçue décrit ensuite la répartition des premiers comme irrégulière, et parle volontiers du « mystère des premiers ».
La lecture du corpus ARC
ThéorèmeLa grille s'engendre seule : la somme de deux voisins consécutifs de la grille tombe exactement sur un axe 6m, et l'axe suivant s'en déduit (Théorème 1). Rien n'est caché sur l'endroit où chercher.
ThéorèmeLes composés de la grille, que le corpus nomme delfines (les descendants), sont exactement les produits de premiers à partir de 5, et ils naissent de quatre formules : k = 6ab + a + b, 6ab − a − b, 6ab + a − b, 6ab − a + b. Chaque famille est une progression régulière ; il n'en existe pas de cinquième (Théorème 2).
ThéorèmeLe premier est donc une soustraction exacte : la position que les quatre familles n'engendrent pas. On décide si une position est première en un nombre fini de gestes, en lançant les familles jusqu'au point d'équilibre de la paire de facteurs.
ThéorèmePour tout premier p à partir de 5, p × p − 1 est un multiple de 24 : l'écart entre deux carrés de premiers est toujours un multiple de 24. Et la somme des chiffres de la période de 1/p est toujours un multiple de 9 (1/7 = 0,142857…, somme 27).
Lecture« Les nombres premiers n'ont jamais été cachés ; on avait jeté le plan de la ville. »
Ce qui reste ouvert
Le corpus règle la position des premiers : où ils sont, comment les décider, quels sont exactement les jumeaux. Le compte asymptotique, combien il y en a jusqu'à une hauteur donnée, est une question d'un autre type : il est ramené à un seul lemme, nommé et déclaré non résolu.
Pour aller plus loin
- Volume 4, chapitre 3 : la grille qui s'engendre et les quatre familles
- Volume 4, chapitre 4 : les carrés de premiers et le rythme 24
- Volume 4, chapitre 5 : les premiers jumeaux
- Volume 4 complet (PDF)