Anexo A. Tabela dos enunciados
Todos os enunciados do volume, pela ordem dos capítulos, com o seu identificador (número do corpus quando existe, identificador de volume V4.capítulo.ordem caso contrário), um resumo numa linha, o seu estatuto e o seu capítulo. Th: teorema; L: leitura; P: predição; F: facto da ciência recebida; Estaleiro: questão aberta nomeada.
| identificador | enunciado | estatuto | capítulo |
|---|---|---|---|
| V4.1.1 | O eixo estéril: nenhum primo > 3 de raiz 3, 6 ou 9 | Th | 1 |
| V4.1.2 | O laço-9 proibido: nenhum primo com soma dos algarismos 9 | Th | 1 |
| V4.1.3 | Os primos > 3 vivem em dois carris; a grelha 6k ± 1 é o resíduo de duas exclusões | Th | 1 |
| V4.1.4 | As duas mãos frente a frente realizam φ(x) = 9 − x, baricentro no interstício | L | 1 |
| V4.1.5 | Uma criança de nove anos munida da folha identifica o eixo estéril numa sessão | P | 1 |
| V4.1.6 | Estrato 1: a absorção instrumental (Gauss 1801) | L | 1 |
| V4.1.7 | Estrato 2: a transparência da notação (Stevin 1585) | L | 1 |
| V4.1.8 | Estrato 3: a deslocação da questão (depois de Riemann) | L | 1 |
| V4.1.9 | O mistério dos primos como produto derivado do prestígio analítico | L | 1 |
| V4.2.1 | Formalização: eixo = subgrupo ⟨3⟩, carris = classes laterais, quociente = lei dos fluxos | Th | 2 |
| V4.2.2 | As cinco leituras da tabela das inversões (soma 9, centro 4,5, 9 autoinverso, afastamentos 7-5-3-1, total 45) | Th | 2 |
| V4.2.3 | O ½ derivado duas vezes: 4,5/9 e 3,5/7 | Th | 2 |
| V4.2.4 | O cubo detetor de classe: D → 1, G → 8, eixo → 9 | Th | 2 |
| V4.2.5 | O bloco torcido: a raiz de um trio só depende da sua ancoragem; toda agregação linear aterra no eixo | Th | 2 |
| V4.2.6 | O eixo carrega as transformações, os carris carregam os seres | L | 2 |
| V4.2.7 | O par de inversões 48372615 / 51627384: φ-palíndromo, soma 99 999 999 | Th | 2 |
| V4.2.8 | A descida da matéria carrega a sua subida | L | 2 |
| V4.2.9 | Invariância de base: a estrutura de fecho existe em toda base b ≥ 4 | Th | 2 |
| V4.2.10 | Singularidade do fecho 9: único fecho 3k em que o eixo tem ordem igual ao seu índice | Th | 2 |
| V4.2.11 | Inversão causal: a base 10 é a inscrição mínima do fecho equilibrado | L | 2 |
| V4.2.12 | Os teoremas da grelha incidem sobre ℤ, sem base | Th | 2 |
| V4.2.13 | O infinito fabricado: 1/7 = 0,1 em base 7, 1/3 = 0,1 em base 3 | Th | 2 |
| Th 1 | Autogeração da grelha: 12m → P₂ₘ, 12m + 6 → P₂ₘ₊₁ | Th | 3 |
| V4.3.1 | A posição dos candidatos nunca esteve escondida | L | 3 |
| Th 2 | As quatro famílias k = 6ab ± a ± b enumeram exatamente as delfines | Th | 3 |
| Th 2 cor. | Completude: nenhuma quinta família; estrutura de grupo de Klein, ramo = produto dos sinais | Th | 3 |
| Th 3 | Primo = índice fora de família: subtração exata, decidível nos dois sentidos | Th | 3 |
| V4.3.2 | Nada sobrevive, tudo se deduz | L | 3 |
| Th 4 | Decisão pelo ponto de equilíbrio do par gerador (mesmo custo que a roda, outro sentido) | Th | 3 |
| V4.3.3 | Balanço: sistema completo nas duas direções | Th | 3 |
| Th 5 | O ritmo 24: p² = 24k + 1 para todo primo p ≥ 5; quadrados no carril D, afastamentos múltiplos de 24 | Th | 4 |
| Th 5 cor. | Maximalidade: os módulos com unidades todas involutivas são os divisores de 24 (Carmichael) | Th | 4 |
| V4.4.1 | O relógio dos quadrados batido pelos fundadores 2 e 3 (8 × 3 = 24) | L | 4 |
| V4.4.2 | A hierarquia dos relógios 12, 24, 4 | Th | 4 |
| Th 6 | A crisálida: colapso conjugado, confluência dos carris em D, porta do 1, oscilação 4 ↔︎ 7 | Th | 4 |
| Th 6 compl. | A porta de um bit: o quadrado apaga exatamente o bit de conjugação | Th | 4 |
| V4.4.3 | A piscadela EPR: indiscernibilidade dos conjugados após elevação | L | 4 |
| V4.4.4 | Duas amnésias distintas: a volta (9 ≡ 0) e o lado do par (o quadrado) | L | 4 |
| Th 7 | Predicado J(k): (6k − 1, 6k + 1) gémeo ⟺ k fora das quatro famílias (37 915 pares abaixo de 10⁶, 152 890 abaixo de 5 × 10⁶) | Th | 5 |
| Th 8 | Disjunção dos carris: 6k − 1 em G, 6k + 1 em D; nenhum divisor comum p > 3 | Th | 5 |
| Th 8 compl. | Fases conjugadas: a onda p toca os ramos em k = u + p·t e k = (p − u) + p·t | Th | 5 |
| V4.5.1 | As famílias como ondas; gémeos = posições deixadas intactas | L | 5 |
| V4.5.2 | Lema de não saturação (infinitude dos gémeos), da mesma dificuldade que a conjetura; obstrução de paridade nomeada | Chantier | 5 |
| Th 11 | Função sucessor: equação de primalidade em produto de subtrações de famílias; S(10¹²) = 1 000 000 000 039 | Th | 6 |
| Th 12 | Máquina de marcação para a frente: os mesmos 148 933 primos abaixo de 2 × 10⁶, × 10,7 | Th | 6 |
| V4.6.1 | O fractal vivo: a rua, as linhas de autocarro, as paragens sem autocarro | L | 6 |
| Th 13 v1 | Salto de andar: contagem em forma fechada por inclusão-exclusão (424 575 424 577 em K = 10¹²) | Th | 6 |
| Th 13 v2 | Regra dos espelhos r_S(+1) + r_S(−1) = M_S; dobramento sem fase, e_S limitado por 1; 973 858 em K = 10⁶ | Th | 6 |
| V4.6.2 | Estaleiro n.º 3: limitar o resíduo das fases dobrado Σ e_S | Chantier | 6 |
| Th 14 | Identidade da junta (6m − 1)(6m + 1) = 36m² − 1, índice 6m², raiz 8 sempre | Th | 6 |
| V4.6.3 | Através do eixo pela adição, por cima do eixo pelo produto | L | 6 |
| V4.6.4 | Expoente baricêntrico medido: excursão em (número de cruzamentos)^½ | L | 6 |
| V4.6.5 | Ressonância da junta fundamental: K múltiplo de 35 põe 48 cruzamentos em 63 em fase (medida documentada) | Th | 6 |
| V4.6.6 | O rejeitado era a chave: a junta 35 comanda a interferência | L | 6 |
| V4.6.7 | A junta 35 é um termo anónimo do produto de Euler | L | 6 |
| V4.6.8 | O sistema das quatro equações de estado; única incógnita Σ e_S | Th | 6 |
| Th 15 | Autoanulação da coerência: soma com sinal de uma constante sobre um filtro = 0 | Th | 6 |
| Th 16 | As engrenagens: alinhamentos ≤ w^j (X/ΠM + 1); alinhamento profundo proibido | Th | 6 |
| V4.6.9 | Estado da cadeia do estaleiro n.º 3: canais uniforme e profundo cortados | Th | 6 |
| Th 10 | Invariante Root-9: o período de 1/p (p > 5, ou membro de grelha primo com 10) tem soma dos algarismos múltipla de 9 | Th | 7 |
| V4.7.1 | O 9 ausente do ser é restituído pelo seu reflexo | L | 7 |
| Th 9 | Correspondência formal: φ normalizada x/9 ↦ 1 − t, ponto fixo 1/2, mesma estrutura que ξ(s) = ξ(1 − s) | Th | 7 |
| V4.7.2 | O monstro amnésico: as cinco objeções ao edifício riemanniano (resumo; Volume 5) | L | 7 |
| V4.7.3 | A reta crítica como traço analítico do ponto fixo de φ (Leitura forte) | L | 7 |
| V4.7.4 | O princípio de encarnação (Leitura metodológica) | L | 7 |
| V4.7.5 | O teste da cauda de Stevin: duplicar a janela, medir o derretimento do afastamento | P | 7 |
| V4.7.6 | A raiz do reflexo em falta é o estrato 2 | L | 7 |
| V4.7.7 | Princípio de fecho: uma estrutura é definida por aquilo que as suas vizinhas não podem engendrar | L | 7 |
| Th 17 | = C.1 e C.3: DR(3n + 1) ∈ {1, 4, 7}, compressão 3:1; o eixo é absorvido ao primeiro golpe e nunca mais reatingido | Th | 8 |
| V4.8.1 | O golpe 3n + 1 é o passo irreversível | L | 8 |
| Th 18 | = C.2 e C.5: a metade é a rotação × 5 do cadastro, ciclo 1 → 5 → 7 → 8 → 4 → 2 → 1, potências de 2 ao contrário | Th | 8 |
| V4.8.2 | Compressão depois permutação: onde a informação é destruída, só a descida é possível | L | 8 |
| C.4 | Único ciclo que contém 1: 1 → 4 → 2 → 1, travessia dos pares de afastamento 1, 5, 7; atrator (1, 8) | Th | 8 |
| C.6 | A raiz digital é compatível com + e ×, fechada sob o golpe e sob a metade (unicidade entre os canais retrogradada em L) | Th | 8 |
| C.6 unicité | A raiz digital como único canal invariante entre três canais comparados | L | 8 |
| C.7 | = Th 14: o produto de dois gémeos tem raiz 8 | Th | 8 |
| V4.8.3 | Sentinela 37: v₂(3n + 1) não é função do resto por 36 (v₂(4) = 2, v₂(112) = 4) | Th | 8 |
| V4.8.4 | Sentinela 31: quatro passos de crescimento; 2^k − 1 sobe k − 1 vezes; 27 culmina em 9 232 | Th | 8 |
| Th 21 | Dicotomia do quarto: n = 4t + 3 ⟺ v₂(3n + 1) = 1 | Th | 8 |
| Th 22 | Pelo menos k passos de crescimento ⟺ 2^(k+1) divide n + 1; cadeias não limitadas, densidade 2^−(k+1) | Th | 8 |
| P-COL-1 | O gap: a contração dos endereços deve arrastar a das grandezas órbita por órbita; toda prova deve atravessar o Th 23 | P | 8 |
| Th 23 | Estranheza dos dois tijolos: as 54 casas (DR, v₂) estão cheias; a DR não carrega nenhum bit sobre v₂ | Th | 8 |
| Th 23 cor. | Fecho da rota DR: nenhum raciocínio cadastral pode limitar v₂ | Th | 8 |
| V4.8.5 | O gap de Collatz é a fronteira entre os tijolos 2 e 3 | L | 8 |
| Th 24 | O +1 devolve a metade amputada: (3n + 1)/2 = 3n/2 + ½; 3n + c contém o mundo de 3n + 1 ampliado c vezes; só o +1 tem uma casa | Th | 9 |
| V4.9.1 | Collatz como lei de quiralidade; procurar o 2, não o 1 | L | 9 |
| Th 25 | Balanço exato: 2^m = 3^k n Π(1 + 1/(3n_i)), L = k + m + 1 | Th | 9 |
| V4.9.2 | O fator residual como sequência das portas abertas | L | 9 |
| Th 26 | A porta 8: toda órbita fora de {1, 2, 4} acaba por 16, 8, 4, 2, 1; último ímpar (4^j − 1)/3 | Th | 9 |
| V4.9.3 | O 8, porta obrigatória; o 1 é o ponto onde o 2 deixa de dividir | L | 9 |
| V4.9.4 | A raiz é o número: escrita única em algarismos 1 a 9, voltas guardadas | Th | 9 |
| V4.9.5 | A paridade está na soma das raízes-algarismos | Th | 9 |
| V4.9.6 | O duo de raízes lê o lance; único ponto cego: o centro 5 | Th | 9 |
| V4.9.7 | O número de metades entre dois ímpares lê-se a menos de 6 | Th | 9 |
| V4.9.8 | O eixo é uma fonte; a árvore inversa sobre 6k ± 1; 4n + 1 faz rodar as classes | Th | 9 |
| V4.9.9 | O golpe dá meia volta, a metade remonta a Génese; balanço −0,13 volta | Th, L | 9 |
| V4.9.10 | A novidade liberta sempre; 2^p − 1 sai em 3^p − 1 | Th | 9 |
| V4.9.11 | A única subida que se repete vive abaixo de zero; −1 único fixo; nenhum ciclo até 14 lances | Th | 9 |
| V4.9.12 | Toda palavra finita é realizada; a recarga dos 1 não depende do carril | Th, F | 9 |
| V4.9.13 | O caso forçado 5n + 1: ciclos 13 e 17; 3 < 4 < 5 | Th, F | 9 |
| V4.9.14 | O infinito está abaixo de zero; a ação −1 é real, a ficção −1 é o limite de uma ação (mistura do finito e do infinito) | L | 9 |
| V4.9.14 bis | Os « −1 » do real são simetrias; um verdadeiro −1 seria um buraco que puxa sem semelhante; a física não conhece nenhum | L, F | 9 |
| V4.9.15 | Resto: uma palavra infinita que sobe sem se repetir | Chantier | 9 |
| L 27 | A assinatura do 7: 17 termos, passa por 17; L < n para além de 110 | L | 9 |
| L 28 | Ponte Teorema 23 / amorfismo: o gap de Collatz é um custo estrutural (refutável por uma fórmula fechada de k(n)) | L | 9 |
| Th 29 | O encontro do espelho: fora do eixo sempre, ímpares do eixo nunca, pares do eixo por metade | Th | 10 |
| V4.10.1 | Menor acrescento, divisão máxima | L | 10 |
| Th 37 | A corda de Collatz: o 4 do 6, a grelha 6k ± 1, o carril pela paridade de v₂ (razão 2), a família 4(9…)6 / 6(9…)4 = 3(15R) + 1, 3(21R) + 1, quiralidade, soma 108R + 2, diferença 18R | Th | 10 |
| V4.10.2 | A posição pelo 6, a velocidade pelo 4, o lado pela paridade do 2 | L | 10 |
| L 35 | A espiral: a raiz é o ângulo, k a altura; o +1 exclui o círculo, não a subida | L | 10 |
| L 35 F | Nenhum ciclo de Collatz com menos de 91 segmentos de subida (Simons e de Weger 2005, Hercher 2023) | F | 10 |
| L 36 | 46 e 64, as duas mãos: caminho lento (23, G) e caminho direito (1, D); instanciação biológica | L | 10 |
| L 38 | O regresso é um dado, a prova uma invenção; contrapeso Pólya, Littlewood, Mertens | L | 10 |
| G.1 | Exclusividade cadastral: o resto de 2n por 6 fixa os carris (G + D, D + D, G + G) | Th | 11 |
| V4.11.1 | Goldbach são três problemas, um por combinação de carris | L | 11 |
| G.2 | Partição em três canais disjuntos por classe de resto segundo 18 | Th | 11 |
| G.3 | Simetria de inversão: para 2n múltiplo de 18, DR(p) + DR(q) = 9 | Th | 11 |
| V4.11.2 | Sob DR = 9, Goldbach é uma decomposição de inversão | L | 11 |
| G.4 | Divergência esperada dos canais (enunciado assintótico padrão, retrogradado) | L | 11 |
| G.5 | DR(n(n + 1)) ∈ {2, 3, 6, 9} | Th | 11 |
| V4.11.3 | O produto consecutivo confinado à vizinhança do eixo; compressão 3:1 sobre a raiz 2 | L | 11 |
| Th 30 | A família do 3 bloqueia 1/3 ou 2/3; todo p bloqueia 1/p ou 2/p; razão exata 2 entre centros múltiplos de 6 e os outros | Th | 11 |
| V4.11.4 | O ½ passa por ⅓ e ⅔ | L | 11 |
| Th 31 | O crivo é simétrico por x ↔︎ N − x: um sobrevivente basta | Th | 11 |
| Th 32 | Sobreviventes por período M Π(1 − c_p/p) > 0: nenhum comboio finito bloqueia um período | Th | 11 |
| P-GOL-1 | O gap de Goldbach vive entre ln N e √N (engrenagens profundas); critério de controlo em janela curta | P | 11 |
| L 33 | O desvio à conta estrutural é limitado e decresce (expoente 0,39 para ½), nenhuma lei em 1/3 | L | 11 |
| L 34 | A casa, primeiro identificador: Collatz e Goldbach, duas faces do mesmo regresso | L | 11 |
| Th 39 | Amplitude dos batimentos em fórmula fechada: Q_G = (2^t ρ + τ − 2ρ²)/9; lei em raiz demonstrada para a grandeza quadrática com geradores fixados | Th | 12 |
| V4.12.1 | Os dois carris em τ: o carril de 7 pesa 1 − 1/p, o carril de 5 pesa 1 − 3/p | L | 12 |
| Th 40 | Produto de cascatas: Σ w_k d_k = Σ w_k c_k + Σ (w_j − 10 w_(j−1)) t_j; as pontas sozinhas não compõem (117 / 198) | Th | 12 |
| Th 41 | Os quatro momentos ímpares e pares restituem exatamente os pesos dos quatro pares (6 561 distribuições) | Th | 12 |
| Th 41 cons. | Momentos ímpares nulos ⟺ pesos iguais em cada par; o primeiro momento sozinho não basta | Th | 12 |
| V4.13.1 | Identidade central: s(24) = 36 = 24 + 12, σ(24) = 60, σ/n = 5/2 | Th | 13 |
| V4.13.2 | σ(n) = 5n/2 só tem 24 como solução abaixo de 10⁷ | Th | 13 |
| V4.13.3 | Demonstração sem limite: 24 única solução com no máximo dois fatores primos | Th | 13 |
| V4.13.4 | 24 menor hemiperfeito de abundância 5/2 e único no eixo (os seguintes, 91 963 648 e 10 200 236 032, de raiz 1) | Th | 13 |
| V4.13.5 | O dobramento 12, 24, 36 carrega o eixo 3, 6, 9 pela ordem | Th | 13 |
| V4.13.6 | 36 = 6², quadrado do primeiro perfeito, único quadrado triangular não trivial abaixo de 1 000 | Th | 13 |
| V4.13.7 | Cadeia alíquota 24 → 36 → 55 → 17 → 1 | Th | 13 |
| V4.13.8 | 24 é a primeira quebra dos gémeos (25 = 5²) | Th | 13 |
| V4.13.9 | As quebras 24, 36, 48, 54 escrevem-se de antemão | Th | 13 |
| V4.13.10 | 35 = 5 × 7 antecede o centro 36; da primeira quebra à primeira reunião | Th | 13 |
| V4.13.11 | Dois tijolos duplicados: 4 × 6 = 24; cadeia 2, 3; 4, 6; 24; 36; 576 | Th | 13 |
| V4.13.12 | 24 = 5² − 1: o andamento é marcado pelo primeiro quadrado de primo | Th | 13 |
| V4.13.13 | Os quadrados de primos caem todos no carril {1, 4, 7} | Th | 13 |
| V4.13.14 | 24 = 4!, ordem do grupo das permutações dos quatro pares | Th | 13 |
| V4.13.15 | 24 = 2³ × 3 = 1 × 2 × 3 × 4 = (2 + 4)(2 × 4)/2; 384 = 360 + 24 | Th | 13 |
| V4.13.16 | Fibonacci em raiz: período 24, dobrado 12 + 12; em 9^k, quatro vezes o período da duplicação | Th | 13 |
| V4.13.17 | 1² + ⋯ + 24² = 4 900 = 70² = C(8, 4)² (Lucas, Watson) | Th | 13 |
| V4.13.18 | 24² = 576, ponta ponderada do octeto, algarismos 5, 7, 6 | Th | 13 |
| V4.13.19 | As duas marchas da interface (passo de 11) e os seus espelhos | Th | 13 |
| V4.13.20 | 24 na marcha: produto das raízes que liga; entrelaçamento 7, 4 | Th | 13 |
| V4.13.21 | Do meio preenchimento (Cr 24) à camada cheia (Kr 36) | L | 13 |
| V4.13.22 | Os três pares espelho das exceções de Madelung escrevem-se com 4 e 6 | Th | 13 |
| V4.13.23 | Madelung como junção de SU(3) e SU(2) duplicados | L | 13 |
| V4.13.24 | Lei dos espelhos sobre 24/42, 46/64, 29/92; 63 + 36 = 99, 63 − 36 = 27 | Th | 13 |
| V4.13.25 | Rendimento exato da ferramenta cega: 2280/1751 = 1,302 par | Th | 13 |
| V4.13.26 | Teste posto de antemão sobre as marchas: desfecho A fraco (7/19, 4,1 %), três falhas nomeadas | P | 13 |
| V4.14.1 | Os dois carris são as duas filas de primos; 5 e 7 são as suas cabeças | Th | 14 |
| V4.14.2 | Assimetria dos gémeos: 5 engendra o círculo de seis, 7 apenas o seu carril; 5² cai em 7 | Th | 14 |
| V4.14.3 | Restrição cristalográfica: rotações de ordem 1, 2, 3, 4, 6 = divisores de 24 ≤ 6 | Th | 14 |
| V4.14.4 | 24 = 4 × 6 e 10 = 4 + 6 (unidades das redes quadrada e hexagonal) | Th | 14 |
| V4.14.5 | Lei de escala: em 9^k, período de Fibonacci = 4 × período da duplicação | Th | 14 |
| V4.14.6 | Fermat e Euler: a² + b² ⟺ resto 1 por 4; a² + 3b² ⟺ resto 1 por 3 | Th | 14 |
| V4.14.7 | Quatro classes por 12; 5 e 7, primos a escolher uma só rede, cada um a outra | Th | 14 |
| V4.14.8 | Duas espécies de gémeos: mista (5, 7) e pura (11, 1); 4 046 e 4 122 abaixo de 10⁶ | Th | 14 |
| V4.14.9 | Grupos de rotação dos sólidos 12, 24, 60 = meio, andamento, σ(24) | Th | 14 |
| V4.14.10 | n divide F_n abaixo de 100: 1, 5, 12, 24, 25, 36, 48, 60, 72, 96; 5 único primo | Th | 14 |
| V4.14.11 | A rede é a dobra da matéria; o quase-cristal, ordem que a dobra não sabe escrever | L | 14 |
| V4.14.12 | O 12 vizinhos comum dos empilhamentos compactos reparte-se em 4 e 6 | P | 14 |
| V4.15.1 | A raiz digital guarda o fecho; é o 9 ≡ 0 que amputa; a cascata lê a estrutura interna | L | 15 |
| V4.15.2 | A cascata é o binómio: ponta = raiz da soma dos algarismos ponderada por Pascal | Th | 15 |
| V4.15.3 | A cascata separa as permutações de 1681 (8, 8, 3, 7, 7, 3, 2) que a raiz confunde | Th | 15 |
| V4.15.4 | Cada carril puro projeta-se no seu pivô: 147… → 7, 258… → 2, 369… → 6 | Th | 15 |
| V4.15.5 | A cascata é cega ao sentido de leitura (C(n, k) = C(n, n − k)) | Th | 15 |
| V4.15.6 | A espiral do sol 13 + k(k + 1)/2: marca palíndroma 4 5 7 1 5 1 7 5 4, soma 39 | Th | 15 |
| V4.15.7 | A pirâmide da espiral, palindrómica em cada andar, passa por 484 e 33, ponta 6 | Th | 15 |
| V4.15.8 | A espiral do sol como chave que se repete até ao infinito (posição do autor) | L | 15 |
| V4.15.9 | A cascata de 1 → 9 aponta para 2 (soma ponderada 1 280) | Th | 15 |
| V4.15.10 | A cascata do octeto 1 → 8 aponta para 9 | Th | 15 |
| V4.15.11 | As linhas do bloco torcido apontam para 3, 6, 9; o bloco inteiro, virado, em colunas, para 6 | Th | 15 |
| V4.15.12 | A cascata como revelador de operador (antigo Teorema 6 bis.1, retrogradado) | L | 15 |
| V4.15.13 | A cascata de 1 → 9 e o corte √2: duas faces de uma mesma operação | L | 15 |
| V4.15.14 | O produto dos seis vizinhos de um coeficiente de Pascal é um quadrado perfeito divisível por 9 | Th | 15 |
| V4.15.15 | Caracterizar as sequências para as quais a cascata revela um operador | Chantier | 15 |
| V4.16.1 | O pêndulo é a sombra do círculo: T = 2π√(L/g) sem infinitesimal (Huygens) | Th | 16 |
| V4.16.2 | Só a cicloide guarda a sombra igual ao caminho: isocronismo exato | Th | 16 |
| V4.16.3 | O primeiro sino é uma conta: linha 8 de Pascal, fibras de soma 1 | Th | 16 |
| V4.16.4 | O sino é o círculo visto através da soma; Gauss herdou-o sem o ler | L | 16 |
| V4.16.5 | As potências de 2 rodam em seis posições sem tocar o eixo; 2ⁿ e 2ⁿ⁺³ somam 9 | Th | 16 |
| V4.16.6 | A dobra é a subtração contabilística aplicada ao círculo; a raiz escreve em partidas dobradas | L | 16 |
| V4.16.7 | O espelho 46 / 64: raiz 1, soma 110, afastamento 18; 694 − 496 = 198 | Th | 16 |
| V4.16.8 | A ponta de 1 → 9: esperança 5 (1280/256) e raiz 2 | Th | 16 |
| V4.16.9 | O bordo da cascata restitui toda a sequência (66 429 sequências) | Th | 16 |
| V4.16.10 | A cascata de XXXX é 9 − X | Th | 16 |
| V4.16.11 | O octeto 1 → 8: soma ponderada 576 = 24², ponta 9 | Th | 16 |
| V4.16.12 | Pascal módulo 3: número de coeficientes não múltiplos de 3 = produto dos (algarismo + 1) em base 3 | Th | 16 |
| V4.16.13 | Linha 3^k módulo 9: só quatro coeficientes (posições 0, 3^(k−1), 2·3^(k−1), 3^k) | Th | 16 |
| V4.17.1 | Cinquenta e quatro números de Kaprekar até um milhão | Th | 17 |
| K.1 | Todo número de Kaprekar tem raiz 9 ou 1 | Th | 17 |
| V4.17.2 | Os dois endereços da memória: a rede e a rede mais o passo | L | 17 |
| K.2 | O complemento 10^e − n de um número de Kaprekar também o é, com a mesma cauda (25, 209, 1729, 1984, 2500, 122449) | Th | 17 |
| V4.17.3 | As caudas 1729 e 209 ligam os painéis do tríptico | L | 17 |
| V4.17.4 | Fatorizações dos puros-noves; 999 999 = 7 × 142 857 | Th | 17 |
| V4.17.5 | A memória engendra os memoriosos | L | 17 |
| V4.17.6 | 142 857² = 20 408 122 449 e 20 408 + 122 449 = 142 857 | Th | 17 |
| V4.17.7 | O ciclo é uma memória em movimento | L | 17 |
| V4.17.8 | T(9…9) e T(10^k) são de Kaprekar a toda a profundidade | Th | 17 |
| V4.17.9 | O tríptico: fecho, circulação, lembrança | L | 17 |
| V4.18.1 | Lei dos espelhos: r(n) − n = 9(b − a), n + r(n) = 11(a + b); patamares 101, 1 001; largura par divisível por 11 | Th | 18 |
| V4.18.2 | A subtração motor da memória, a adição motor da interface | L | 18 |
| V4.18.3 | DR(n + r(n)) = DR(2n): a raiz de uma trajetória de Lychrel duplica a cada passo | Th | 18 |
| V4.18.4 | Fecho (Kaprekar) e circulação (Lychrel) | L | 18 |
| V4.18.5 | Treze candidatos de Lychrel abaixo de 1 000, 249 abaixo de 10 000 | Th | 18 |
| V4.18.6 | Os cinco primeiros fugitivos, espaçados de 99, fundem-se em 887 | Th | 18 |
| V4.18.7 | As raízes dos treze fugitivos estão em {5, 6, 7} | Th | 18 |
| V4.18.8 | Uma adição sem transporte dá um palíndromo | Th | 18 |
| V4.18.9 | 196 não conhece nenhum passo sem transporte em sessenta passos | Th | 18 |
| V4.18.10 | O transporte perpétuo como mecanismo da fuga | L | 18 |
| V4.18.11 | 196 = 2² × 7² = 4 × 49; 4 × 49,5 = 198; 10 × 49,5 = 495; 198 − 196 = 2 | Th | 18 |
| V4.18.12 | 196, o número que não recebeu o meio | L | 18 |
| V4.18.13 | O dipolo Kaprekar / Lychrel | L | 18 |
| V4.19.1 | Constantes do espelho: n − ñ = 9(a − b), n + ñ = 11(a + b), com três algarismos 99(a − c) | Th | 19 |
| V4.19.2 | 198 = 2 × 9 × 11 (identidade) | Th | 19 |
| V4.19.3 | 198, relação × subtração × adição; 198 = 99 + 99 | L | 19 |
| V4.19.4 | O bloco ordenado 231/564/897: produtos das colunas 28, 80, 162, raízes 1, 8, 9 | Th | 19 |
| V4.19.5 | 9-8-1 e g = 9,81 m/s² (correspondência) | L | 19 |
| V4.19.6 | Espaçamento 33 do bloco ordenado; 33² = 1 089 = 198 + 891; 9 801 = 99² | Th | 19 |
| V4.19.7 | Genealogia 2, 3 → 4, 6 → 46/64 → 496/694 → 198 | Th | 19 |
| V4.19.8 | 496 e a teoria das cordas: nunca calculado 694 − 496 | L | 19 |
| V4.19.9 | Pares espelho internos de 198: 19 × 91 = 1 729, 18 × 81 = 1 458, 98 × 89 = 8 722; diferenças de raiz 9 | Th | 19 |
| V4.19.10 | 1 729 como pivô volumétrico | L | 19 |
| V4.19.11 | 198 + 891 = 1 089 = 33²; 891 − 198 = 693 = 7 × 9 × 11 | Th | 19 |
| V4.19.12 | Quadrados de primos em {1, 4, 7}, produto 28 | Th | 19 |
| V4.19.13 | A descida Ni-Co-Fe (28, 27, 26) soletra o gradiente; soma 81 | L | 19 |
| V4.19.14 | Cubo 6/8/12 (26), prisma hexagonal 8/12/18 (38), Euler 2 | Th | 19 |
| V4.19.15 | Raízes dos cubos {1, 8, 9}, dos quadrados {1, 4, 7, 9} | Th | 19 |
| V4.19.16 | Descida ao passo de 101 de 945 a 036: cadastro completo; 137, 33.º primo | Th | 19 |
| V4.19.17 | 137 e a constante de estrutura fina (correspondência declarada) | L | 19 |
| V4.19.18 | 361 = 360 + 1 = 19²; L: a espiral quebra o círculo | Th | 19 |
| V4.19.19 | 46/64 → 496/694 por inserção do 9; raiz 1 conservada | Th | 19 |
| V4.19.20 | Diferenças cruzadas 450, 432, 630, 648 de raiz 9; soma 2 160 = 6³ × 10 | Th | 19 |
| V4.19.21 | 46 + 64 + 27 = 137 (L: cromossomas, codões, cobalto) | Th | 19 |
| V4.19.22 | 163 + 137 = 300, 163 − 137 = 26 (L sobre valor arredondado de c) | Th | 19 |
| V4.19.23 | Nenhuma supercorda sem anomalia de dimensão de gauge além de 496 | P | 19 |
| V4.19.24 | As diferenças cruzadas a9b − ab, a9b − ba são múltiplas de 9 (antiga predição reclassificada) | Th | 19 |
| V4.19.25 | Isótopos estáveis agrupados em DR(A) ∈ {2, 4, 9} (incompleta: piso e janela por fixar) | P | 19 |
| V4.19.26 | Raiz DR(Z) = 5 menos hexagonal (44 % contra 64 %), recibo a refazer | P | 19 |
| V4.19.27 | O cubo esmaga cada carril: raízes 1, 8, 9; somas de dois cubos em 1, 2, 7, 8, 9 | Th, L | 19 |
| V4.19.28 | Números de Fermat: raízes 5 e 8 em alternância; produto F(m) − 2 em 3 e 6 | Th, L | 19 |
| V4.19.29 | Mersenne M(p), p > 3 primo: raiz 1 se p = 6k + 1, 4 se p = 6k − 1; 7 apenas para M(3) | Th, L | 19 |
| V4.19.30 | Fibonacci: F(n) + F(n + 12) = 18 F(n + 6); raízes inversas a doze passos | Th, L | 19 |
| V4.19.31 | 1 + … + 31 = 496; K(496) = K(495) = 495 = 2 + … + 31 | Th, L | 19 |
| CP 2.1 | Bijeção das duas coordenadas: n = 9k + DR(n), k = ⌊(n − 1)/9⌋ | Th | 20 |
| CP 2.2 | A convenção 9 ≡ 0 deita fora o circunscrito e mutila o inscrito | Th | 20 |
| CP 2.3 | DR ∘ DR = DR | Th | 20 |
| CP 2.4 | Descompressão em dois passos: 10³ − 1, 10¹⁰⁰ − 1, 10¹⁰⁰⁰ − 1 | Th | 20 |
| CP 2.5 | A retroprojeção interna, regime fora de velocidade da raiz | L | 20 |
| CP 3.1 | O fundo (o olhar interior termina) e o sem-teto (k não limitado) | Th | 20 |
| CP 3.2 | As duas faces da saudade como posturas exatas | L | 20 |
| CP 4.1 | Um fecho par tem um centro ocupado; o fecho 9 tem um centro vazio | Th | 20 |
| CP 4.2 | Os oito algarismos somam 36, 36/8 = 4,5, nenhum o iguala | Th | 20 |
| CP 4.3 | Um centro inatingível é um atrator vivo | L | 20 |
| CP 5.1 | A inversão do círculo é uma involução que troca centro e infinito | Th | 20 |
| CP 5.2 | O quinto par: (4,5 ; ∞) | L | 20 |
| CP 5.3 | Limite de informação: o exterior infinito em bijeção com o interior finito | Th | 20 |
| CP 6.1 | Anexação a taxa plena: R → R√2 duplica a área | Th | 20 |
| CP 6.2 | O canto do quadrado está na diagonal, que passa pelo centro | Th | 20 |
| CP 6.3 | A expansão como ingestão | L | 20 |
| CP 7.1 | Dois níveis de pontos fixos: nenhum nos algarismos, a tabela × 9 nas tabelas | Th | 20 |
| CP 7.2 | As tabelas dos carris somam 99 999 999; o eixo transborda (100 900 899) | Th | 20 |
| CP 7.3 | 99 999 999 = 3² × 11 × 73 × 101 × 137 | Th | 20 |
| CP 7.4 | DR(9k) = 9; 9 + 1 = 10 → 1 | Th | 20 |
| CP 7.5 | A tabela × 9, membrana do quinto par | L | 20 |
| CP 8 | O quadro das inversões e os três alinhamentos (9, 10, 11) | Th | 20 |
| CP 9.1 | Toda posição é mediatriz | L | 20 |
| CP 9.2 | A dobra em cada andar | L | 20 |
| CP 9.3 | O motor cosmológico: a expansão persegue o centro | L | 20 |
| V4.20.1 | O espaço ingere, o tempo arquiva: junção com A Lei da Sedimentação | L | 20 |
| V4.21.1 | A amputação primordial aos seis anos: 1 + 1 = 2 pressupõe a separação | L | 21 |
| V4.21.2 | A subtração revela, não aniquila (leis de conservação) | L | 21 |
| V4.21.3 | O inverso diabolizado | L | 21 |
| V4.21.4 | O relógio de nove posições; o zero, memória de um ciclo cumprido | L | 21 |
| V4.21.5 | Porquê nove: base de escrita e estrutura fechada; bases 12, 16, 60 | L | 21 |
| V4.21.6 | Os quatro pares, somas 9, diferenças 7, 5, 3, 1 (funções: L) | Th | 21 |
| V4.21.7 | O baricentro, espelho de si mesmo | L | 21 |
| V4.21.8 | Axioma A0: a raiz como posição no ciclo dos nove, três provas de invariância | Th | 21 |
| V4.21.9 | O carril D é o subgrupo de ordem 3 das posições invertíveis | Th | 21 |
| V4.21.10 | G = 2D; G × G = D, D × D = D, D × G = G | Th | 21 |
| V4.21.11 | O eixo é o ideal gerado por 3 | Th | 21 |
| V4.21.12 | Os quadrados de primos em D, seis casos | Th | 21 |
| V4.21.13 | A tabela do nove escreve os quatro pares e depois vira-os | Th | 21 |
| V4.21.14 | A tabela de multiplicação em raízes: linhas a e 9 − a inversas e viradas | Th | 21 |
| V4.21.15 | Os caminhos do ½: seis exatos, o quinto retirado | Th | 21 |
| V4.21.16 | O ½ do spin, da reta crítica, do triângulo equilátero | L | 21 |
| V4.21.17 | 4,5 × afastamentos duplicados: 9, 27, 45, 63 (razão 18) | Th | 21 |
| V4.21.18 | Os carris como ciclos dinâmicos em torno dos seus centros 4, 5, 6 (leituras biológicas: L) | Th | 21 |
| V4.21.19 | 234 + 432 = 666; 567 + 765 = 1 332; 891 + 198 = 1 089 = 33² | Th | 21 |
| V4.21.20 | Os extremos das linhas do bloco revelam o carril D; 6k + 1 em 1, 7, 4 | Th | 21 |
| V4.21.21 | O tripleto 578 falta aos múltiplos de 123; 5 × 7 × 8 = 280, 5 + 7 + 8 = 20 | Th | 21 |
| V4.21.22 | Quatro tripletos, quatro dimensões: espaço, memória, regulação, movimento-continuidade | L | 21 |
| V4.21.23 | A cascata das quinze ruturas (resumo; Volume 6) | L | 21 |
Contagem. 285 enunciados numerados: 181 Th, 91 L, 9 P, 3 Estaleiro, 1 F identificado (os factos da ciência recebida citados no texto sob a marca F não são numerados, salvo este, que carrega uma conclusão do dossiê Collatz). Os Teoremas 19 e 20 do Tomo II estão reservados sem conteúdo (Anexo B).
Capítulo 22. A congruência dos pares: o mod que guarda os inversos (peça entrada palavra por palavra). Os estatutos são os que a própria peça carrega, secção por secção; nenhum enunciado foi renumerado.