Chapitre 6. Les deux extrêmes et l’entre-deux : vingt et un gestes datés
Les chapitres 2 et 3 ont démontré la même erreur de statut aux deux extrêmes des mathématiques : π, l’objet le plus simple (un seul cercle, un seul rapport), et les zéros de ζ, l’objet le plus vaste (tous les entiers et tous les premiers à la fois). Ce chapitre montre d’abord que les deux extrêmes portent exactement les mêmes marques. Il date ensuite, entre ces deux bornes, vingt et un gestes de l’histoire des sciences, du nombre à la mesure, à la physique, au vivant, à la société et aux machines, où le corpus lit la même marque ; pour chacun, la date et l’auteur sont des faits, la marque est une lecture, et le renvoi au Registre des Erreurs donne la source. Il donne enfin une contre-épreuve (Huygens a mesuré le mouvement sans passer par la limite) et l’écriture qui ferme sans limite. La thèse que la marque est partout est celle de l’auteur ; elle se réfute ligne par ligne.
« L’erreur n’est pas dans les calculs ; elle est dans le statut. »
6.1 Les deux bornes portent la même marque
[6.1] Th. π et les zéros de ζ portent tous deux les marques M1 et M2. Pour π : M1 par [2.4] et [2.5] (le mot « rapport » couvre deux entiers et deux longueurs) ; M2 par [2.6] et [2.7] (la limite des décimales et des réduites, qu’aucune n’atteint). Pour ζ : M1 par le dilemme [3.11] (la lettre couvre la somme et le prolongement) ; M2 par [3.5] (le zéro est la limite de l’écart entre la somme et l’aire).
[6.2] L. La troisième marque, et un seul geste. Les deux extrêmes portent aussi la marque M3 : le reste sans fin de la règle est attribué au cercle ([2.9], R.30) ; les zéros du prolongement sont attribués aux premiers ([3.13]). Les trois marques sont trois faces d’un seul geste : traiter la limite d’un processus sans fin comme l’objet fini qu’elle approche.
[6.3] L. Un seul mot couvre ce qui se compte et ce qui se parcourt. Chaque fois, un seul mot couvre une chose qui se compte et une chose qui se parcourt : ζ pour la somme et le prolongement ; « rapport » pour deux entiers et pour deux longueurs ; « nombre » pour une fraction et pour une limite. C’est là que naît l’écart.
6.2 La carte de l’entre-deux
[6.4] L. Thèse de l’auteur : si les deux extrêmes portent le mélange, tout l’entre-deux le porte. Le tableau date vingt et un gestes. Pour chacun, la date et l’auteur sont des faits ; la marque est une lecture ; la dernière colonne renvoie à l’entrée du Registre des Erreurs (Volume 3, Le Code et le Registre) où le geste est inscrit et sourcé.
| Date | Geste | Où entre la marque | Marque | Registre |
|---|---|---|---|---|
| v. 500 av. n. è. | Pythagoriciens : la diagonale | un rapport de deux longueurs déclaré « sans rapport » | M1, M3 | R.23 |
| 628 | Brahmagupta : a × 0 = 0 | le zéro qui scelle un tour et le zéro du rien sous un même signe | M1 | R.3 |
| 1585 | Stevin, De Thiende | un tiers écrit comme une queue décimale sans fin | M2 | R.27 |
| 1614 | Neper ; puis e = lim (1 + 1/n)ⁿ | un nombre défini comme terme final d’une suite infinie | M2 | R.33 |
| v. 1684 | Newton, Leibniz : la dérivée | h nul pour le résultat, non nul pour la division | M1, M2 | R.40 |
| dès 1684 | le calcul intégral | une aire comme somme d’une infinité de tranches d’épaisseur nulle | M2 | R.41 |
| 1801 | Gauss : 9 ≡ 0 | le tour accompli et le vide sous un même signe ; le compte des tours jeté | M1, M3 | R.1, R.2 |
| 1809 | Gauss : la cloche et les moindres carrés | une loi continue à la place d’un compte fini de cas ; le carré jette le signe | M2, M3 | R.20, R.155 |
| 1822 | Fourier | un signal fini écrit comme une somme infinie de fréquences ; la position dans le temps perdue | M2, M3 | R.44 |
| 1852 à 1877 | Kelvin, Clausius, Boltzmann | un état final atteint en un temps infini ; le cycle accompli lu comme néant | M1, M2 | R.48 |
| 1859 | Darwin | l’ignorance de la cause des variations promue propriété du monde | M3 | R.110 |
| 1872 à 1874 | Dedekind, Cantor | la droite réelle bâtie sur des coupures et des ensembles infinis achevés | M2 | R.19 |
| XIXᵉ siècle | la mort pensée comme effacement | le zéro du rien posé sur un cycle accompli | M1 | R.134 |
| 1926 | Born : |ψ|² | le carré jette la phase ; un espace de dimension infinie posé comme nécessaire | M2, M3 | R.69, R.70, R.87 |
| 1934 | Kuznets : le revenu national, puis le PIB | la circulation mesurée avec la règle de la croissance, le geste de π | M3 | R.143 |
| 1947 à 1949 | renormalisation de l’électrodynamique quantique | des infinis engendrés par le cadre, soustraits l’un de l’autre | M2 | R.100 |
| 1948 | Schwinger : α/2π | une valeur écrite comme somme sans fin de corrections | M2 | R.105 |
| 1976 | cryptographie à clé publique | la sécurité tient au compte des tours jeté par le repliement | M3 | lecture du corpus |
| 1979 | la volatilité électorale | ce que l’instrument a jeté nommé propriété du peuple | M3 | R.137 |
| 1985 | la norme IEEE 754 | la queue de Stevin coupée à chaque opération | M2 | R.28 |
| 2017 à 2020 | les grands modèles de langage | le mot suivant calculé sans mémoire du chemin | M3 | R.144 |
Le Registre donne, pour plusieurs de ces gestes, la formule qui le frappe. Pour e (R.33), le nombre est défini comme « le point terminal d’une suite infinie, non comme un rapport ». Pour la dérivée (R.40), elle « prétend h = 0 pour le résultat, tout en gardant h ≠ 0 pour la division ». Pour le calcul intégral (R.41), il s’agit d’« additionner une infinité de presque-riens ». Pour la loi normale lue ensuite comme une nature qui disperse (R.49), « la dispersion n’est pas dans le gaz ; elle est dans la somme ». Pour la renormalisation (R.100), c’est le geste exact du zéro de zêta, une somme sans fin moins une queue sans fin. Pour Born (R.69, R.70), l’interprétation de Copenhague promeut l’information jetée en propriété du monde. Darwin publie L’Origine des espèces en 1859, l’année même du mémoire de Riemann. La cryptographie à clé publique est une lecture du corpus sans entrée au Registre : la sécurité repose sur le compte des tours que le repliement jette (voir [8.5]).
6.3 La contre-épreuve
[6.5] F. Huygens mesure le mouvement sans la limite. Huygens traite le calcul des chances comme une somme finie de cas (De ratiociniis in ludo aleae, 1657), la force centrifuge (1659) et le pendule cycloïdal (Horologium oscillatorium, 1673) par des triangles semblables et l’ombre du cercle, sans passer par la limite de Newton et de Leibniz. Le pendule est l’ombre du cercle, et la première cloche est une somme finie de cas (R.156).
[6.6] L. Le geste n’est pas nécessaire, et il est daté. La contre-épreuve établit deux choses. Le geste n’est pas nécessaire : le mouvement a été mesuré sans lui. Et il est daté : il entre à des moments précis, par des mains précises, ce qui permet de le retirer.
[6.7] L. Cent cinquante entrées, une seule vue sous cent cinquante angles. Entre le cercle et les zéros, partout où une découverte passe par la limite, par le carré ou par le zéro du rien, l’auteur lit au moins une des trois marques. Le Registre en a inscrit plus de cent cinquante, une par une ; « lues depuis les deux extrêmes, elles sont une seule entrée vue sous cent cinquante angles. Le fil qui les relie n’est dans aucune entrée : il est dans la relation, qui est l’objet même du corpus. »
6.4 L’écriture qui ferme
[6.8] L. L’adresse ferme sans limite. L’écriture n = 9k + DR(n) ([1.10]) ferme sans limite : le cycle de neuf positions se clôt en 9, et le compte k des tours accomplis est gardé. Elle distingue le zéro qui scelle un tour accompli du zéro d’épuisement, que la congruence confond. C’est l’écriture de l’ARC ; elle n’a pas besoin du signe égal posé au bout d’une file sans fin pour dire ce qu’est un objet.
6.5 Conditions de réfutation et portée
[6.9] L. La carte se réfute ligne par ligne. Toute ligne du tableau dont le geste se réalise sans processus sans fin, sans carré qui jette un signe et sans zéro du rien, en donnant les mêmes objets, est retirée. Toute découverte de l’entre-deux qui ne porte aucune marque compte contre la thèse.
La carte ne dit pas que les découvertes de l’entre-deux sont fausses : leurs calculs tiennent dans la langue où elles ont été faites, comme ceux de Lambert et de Lindemann. Elle date les gestes et dit où la marque entre ; que la marque soit partout est la thèse de l’auteur, Lecture déclarée telle.
[6.10] L. Résultat principal : une même erreur, démontrée aux deux extrêmes et datée dans l’entre-deux. L’erreur n’est pas dans les calculs ; elle est dans le statut. Elle consiste à traiter la limite d’un processus sans fin comme l’objet fini qu’elle approche. Elle se démontre aux deux extrêmes et se date dans l’entre-deux. Aux deux extrêmes, la même égalité donne au même objet deux statuts incompatibles : π est appelé rapport et démontré sans rapport, et son écart au compte le plus simple, 22/7, est une aire finie ; le zéro de ζ n’est ni celui de la somme des entiers, qui diverge, ni celui du produit des premiers, qui ne peut pas s’annuler : c’est la limite de l’écart entre un compte et une aire qui croissent sans borne. Posée sur le prolongement, la question de Riemann a pour objet une file sans fin, et sa forme la plus fermée est l’écart de deux comptes finis, A(N) − B(N), dont la somme est gouvernée par π. Une écriture qui ferme en gardant le compte de ses tours, n = 9k + DR(n), n’a pas besoin de la limite pour dire ce qu’est un objet.