Chapitre 5. Le produit d’Euler lu par ARC : les tours, la grille et le 4 orphelin

En 1737, Euler écrit que la somme des inverses des puissances de tous les entiers est égale à un produit pris sur les seuls nombres premiers. Ce chapitre explique, en mots simples, comment ce produit marche, et ce que le cadastre y lit. Chaque facteur du produit compte combien de fois un premier est employé : il garde les tours de chaque premier, sans en jeter un seul. Le produit d’Euler est donc le geste inverse du repliement de 1801, qui garde le reste et jette les tours. Retirer un facteur, c’est retirer un premier avec tous ses multiples ; les deux premiers facteurs, 2 et 3, retirés ensemble, laissent exactement la grille 6k ± 1 où vivent tous les premiers au-delà de 3. Enfin le chapitre relie le produit à l’hypothèse de Riemann : les fonctions qui ont un produit d’Euler sont celles dont on attend tous les zéros au centre, et le quatrième terme qu’il faudrait pour qu’un zéro quitte le centre est le 4, seul nombre avec le 1 que la relation des briques 2 et 3 ne fabrique pas. Aucune identité de ce chapitre n’est nouvelle ; ce qu’il apporte est une lecture, et un pont.

« Encore plus simple : on va donner notre lecture du produit eulérien. On va leur expliquer comment ça marche. »

5.1 Ce qu’ils écrivent

[5.1] F. Le produit d’Euler (1737). Pour tout s plus grand que 1,

1/1ˢ + 1/2ˢ + 1/3ˢ + 1/4ˢ + 1/5ˢ + … = 1/(1 − 1/2ˢ) × 1/(1 − 1/3ˢ) × 1/(1 − 1/5ˢ) × 1/(1 − 1/7ˢ) × …

À gauche, tous les entiers, l’un après l’autre. À droite, seulement les nombres premiers, un facteur par premier. Riemann donnera en 1859 à la somme de gauche le nom ζ(s), zêta de s.

[5.2] F. La factorisation unique, démontrée chez Gauss. L’égalité repose sur un seul fait : chaque entier s’écrit d’une seule manière comme produit de nombres premiers. La première démonstration rigoureuse de ce fait se trouve chez Gauss, dans les Disquisitiones Arithmeticae de 1801, article 16. Le même livre qui pose 9 ≡ 0 contient donc la preuve que chaque entier a une adresse unique dans les premiers. Le corpus date les gestes : ici, Gauss donne les deux.

5.2 Comment il marche

[5.3] Th. Chaque facteur compte les emplois d’un premier ; chaque entier sort une fois. Le facteur du premier p se déplie en une somme :

1/(1 − 1/pˢ) = 1 + 1/pˢ + 1/p^{2s} + 1/p^{3s} + …,

où les termes correspondent à p employé 0 fois, 1 fois, 2 fois, 3 fois, et ainsi de suite. Multiplier tous les facteurs, c’est choisir, pour chaque premier, combien de fois on l’emploie. Chaque choix fabrique un entier, et un seul. Choisir 2 employé deux fois, 3 employé une fois et aucun autre premier donne 2 × 2 × 3 = 12, et le terme 1/12ˢ. Comme chaque entier a une seule recette, chaque entier sort une fois et une seule. La somme de gauche range les entiers à la file, le produit de droite les fabrique par leurs recettes.

Contrôles. En dépliant le produit sur les premiers jusqu’à 2000, chaque entier de 1 à 2000 sort exactement une fois. En multipliant les facteurs pour s = 2 sur tous les premiers inférieurs à 200 000, on obtient 1,6449334415, à moins de 10⁻⁶ de π²/6 = 1,6449340668…, la valeur de la somme trouvée par Euler en 1734.

5.3 La lecture ARC : le produit garde les tours

[5.4] L. Le nombre d’emplois d’un premier est son nombre de tours. Dans le facteur de p, le nombre de fois où p est employé s’appelle, dans la langue du corpus, le nombre de tours de p. Un entier est donc écrit, dans le produit, par la liste de ses premiers et de leurs tours : 12, c’est deux tours de 2 et un tour de 3. C’est une adresse complète. Rien n’y est jeté.

[5.5] L. Le produit d’Euler est le geste inverse du repliement de 1801. La racine digitale écrite à la manière de Gauss garde le reste et jette k, le nombre de tours (R.1). Le produit d’Euler garde tous les tours, de tous les premiers, et c’est pour cela que l’égalité tient. Le cadastre écrit chaque entier n = DR(n) + 9k : il garde la position et le tour. Le produit d’Euler fait la même chose, premier par premier : chaque premier a son propre compteur de tours.

[5.6] L. La file et la relation sont le même objet. La somme et le produit sont le même objet lu de deux façons. La somme lit les entiers à la file, par leur rang. Le produit les lit par leurs relations, c’est-à-dire par les premiers qui les composent et le nombre de fois où chacun y entre. L’égalité d’Euler dit que la file et la relation sont le même objet. C’est, en une formule de 1737, la thèse du corpus : la relation est l’identifiant (Volume 11, La Cité et le Sens).

5.4 Retirer un facteur : le crible écrit en produit

[5.7] Th. Retirer le facteur de 3, c’est retirer l’axe ; il reste les deux rails. Multiplier ζ(s) par (1 − 1/2ˢ), c’est retirer le facteur de 2 : il ne reste que les entiers impairs. Multiplier par (1 − 1/3ˢ), c’est retirer tous les multiples de 3. Dans le cadastre, les multiples de 3 sont exactement les entiers dont la racine est 3, 6 ou 9 : l’axe (vérifié jusqu’à 100 000). Ce qui reste, ce sont les entiers dont la racine est 1, 2, 4, 5, 7 ou 8 : les deux rails. Pour s = 2, l’axe vaut π²/54 (car Σ 1/(3n)² = ζ(2)/9) et les rails valent 4π²/27 (car (1 − 1/9) ζ(2) = 8/9 × π²/6), qui font ensemble π²/6.

[5.8] Th. Les facteurs 2 et 3 retirés ensemble laissent la grille 6k ± 1. Il reste les entiers qui ne sont divisibles ni par 2 ni par 3, et ce sont exactement les nombres 6k − 1 et 6k + 1 (vérifié jusqu’à 100 000). Les deux premiers facteurs du produit d’Euler découpent donc la grille 6k ± 1, celle où vivent tous les premiers au-delà de 3 (Volume 4, La Théorie des Nombres, les premiers jamais cachés ; R.116). Pour s = 2, la somme sur la grille vaut (3/4) × (8/9) × π²/6 = π²/9.

[5.9] Th. Les composés de la grille sont quatre familles. Les facteurs suivants retirent de la grille les multiples de 5, de 7, de 11, et ainsi de suite. Dans la grille, 5 et 7 se rencontrent pour la première fois en 35 = 6 × 6 − 1. Et les composés de la grille sont exactement quatre familles : 6k + 1 est composé si et seulement si k s’écrit 6ab + a + b ou 6ab − a − b ; 6k − 1 est composé si et seulement si k s’écrit 6ab + a − b, pour des entiers a et b au moins égaux à 1 (l’échange de a et b donnant 6ab − a + b). Vérifié pour k de 1 à 20 000.

Calcul montré. (6a + 1)(6b + 1) = 36ab + 6a + 6b + 1 = 6(6ab + a + b) + 1 ; (6a − 1)(6b − 1) = 6(6ab − a − b) + 1 ; (6a + 1)(6b − 1) = 6(6ab − a + b) − 1. Pour 35 = (6 − 1)(6 + 1), a = b = 1 donne k = 6 − 1 + 1 = 6, et 6 × 6 − 1 = 35.

[5.10] L. Le produit d’Euler est la grille écrite en multiplication. Les deux premiers facteurs tracent la grille ; les autres en retirent les quatre familles ; ce qui reste, ce sont les premiers.

[5.11] L. Un crible qui ne raye rien. Chaque facteur retiré se remet : multiplier par 1/(1 − 1/pˢ) rend tous les multiples de p qu’on avait ôtés. Le crible d’Ératosthène, que le corpus accuse de rayer au lieu de lire (R.115), devient dans le produit une opération qui se défait. C’est une relation, pas une destruction.

5.5 Pourquoi la clôture compte : le pont vers Riemann

[5.12] Th. Le cadastre coupe ζ en neuf rails de Hurwitz. Écrire chaque entier n = 9k + DR(n) coupe ζ en neuf morceaux : ζ(s) = 9⁻ˢ × [ζ(s, 1/9) + ζ(s, 2/9) + … + ζ(s, 9/9)], un morceau par position, où ζ(s, a) = Σ_{k ≥ 0} 1/(k + a)ˢ est la fonction de Hurwitz. Les classes fermées gardent un produit d’Euler : l’axe {3, 6, 9} redonne 3⁻ˢ ζ(s), les deux rails ensemble redonnent (1 − 3⁻ˢ) ζ(s). Un rail seul, coupé de son inverse et du reste, ne le garde pas : par Davenport et Heilbronn ([4.10]), une fonction de Hurwitz à a rationnel autre que ½ et 1 a une infinité de zéros hors de la droite.

Calcul montré. Σ_{n = 9k + j} 1/nˢ = Σ_{k ≥ 0} 1/(9k + j)ˢ = 9⁻ˢ Σ_{k ≥ 0} 1/(k + j/9)ˢ = 9⁻ˢ ζ(s, j/9).

[5.13] L. Le produit est la clôture ; un rail seul est une paire coupée. La lecture ARC du produit d’Euler dit pourquoi la clôture compte. Le produit est la clôture : chaque premier y entre avec tous ses tours, et rien n’en sort. Un rail seul est une paire coupée de son inverse. Le corpus pose depuis la Genèse que 1 ⊕ 1 = 3 : une paire n’est un objet qu’avec ce qui naît d’elle (Volume 1, La Fondation).

5.6 Le vide entre la paire

[5.14] Th. ζ n’a aucun zéro réel entre 0 et 1. Sur cet intervalle, ζ(σ) = η(σ)/(1 − 2^{1−σ}), où η(σ) = 1 − 1/2^σ + 1/3^σ − 1/4^σ + … est une somme alternée de termes décroissants, donc au moins égale à 1 − 1/2^σ, qui est strictement positif ; et le dénominateur 1 − 2^{1−σ} est strictement inférieur à zéro pour σ < 1. ζ y est donc partout de signe moins, jamais nulle. Contrôle : ζ(½) = −1,46035.

[5.15] L. La forme ARC de l’hypothèse de Riemann. Les zéros vont par paires, ρ et son miroir ρ̄, deux inverses séparés par le vide, et il n’existe « aucune orbite de quatre ». La paire, le vide entre elle, et rien d’autre : trois termes, 1 ⊕ 1 = 3.

5.7 Le 4 orphelin

[5.16] Th. Les briques 2 et 3 engendrent tout de 1 à 30, sauf 1 et 4. Avec les seules briques 2 et 3, sans répéter une brique deux fois de suite, l’addition et la multiplication, appliquées de gauche à droite, engendrent toutes les positions de 1 à 30, sauf exactement deux : 1 et 4 (La Genèse, v0.3). Le 4 n’est atteint que par une brique repliée sur elle-même, 2 × 2 : « aucune relation entre les deux briques distinctes ne l’atteint » (Le Procès de la Preuve, v7). Alors que 2 + 3 = 5, 2 × 3 = 6, 3 − 2 = 1.

L’auteur l’a dit :

« Il est le seul nombre, à part 1 bien sûr, qui ne peut être construit par les deux briques en relation. Le seul. »

« Y a plus de chantier. On explique que le 4 est le seul nombre pas produit par un jumelage de 2 et 3. Le seul avec 1. »

[5.17] L. Une orbite de quatre serait une brique repliée, non une relation. Une orbite de quatre, pour un zéro, ce serait le zéro, son miroir, son inverse et l’inverse de son miroir, quatre termes distincts. C’est le 4 : une brique repliée sur elle-même, et non une relation. Ce que la relation fabrique, c’est la paire et ce qui naît avec elle. Le quatrième terme n’a pas de naissance dans la grammaire.

5.8 La queue de Stevin

L’auteur a dit où ce quatrième terme trouve sa place chez l’hôte :

« Le groupe de quatre n’agit pas du tout. C’est leur queue de Stevin qui le permet. C’est ouvert. »

[5.18] L. Le quatrième terme n’a de place que dans le continu. Pour qu’un zéro quitte le centre d’un rien, il faut une partie réelle comme ½ + 0,000…1, écrite avec une queue de décimales aussi longue qu’on veut. C’est le continu, la droite infiniment divisible (R.27 et R.42). Dans le cadastre, entre la paire (4, 5) et le centre 4,5, il n’y a aucune position : le domaine est clos, et il n’y a pas de place pour un quatrième terme. Dans le continu, il y en a toujours une, aussi près qu’on veut. Le domaine de l’hôte est ouvert, et c’est pour cela que la question y reste ouverte : sur un domaine ouvert, aucun compte complet n’est possible (chapitre 11).

5.9 Deux langues

[5.19] L. Fermée dans la langue du corpus, ouverte dans celle de l’hôte. Dans la langue du corpus, la question est fermée : le quatrième terme est le 4, et le 4 ne naît pas de la relation. Le statut est celui d’une Lecture fondatrice, adossée aux Théorèmes [5.14] et [5.16]. Dans la langue de l’hôte, la question est ouverte, et elle le restera tant qu’on y écrira la partie réelle dans le continu : il faudra y démontrer qu’aucun zéro ne se pose sur la queue de décimales. Le dernier pas de l’hôte, en octobre 2026, a vidé la bande au-delà de 7/8 ([4.27]) ; le corpus dit pourquoi la bande ne se vide pas d’elle-même dans sa langue, et pourquoi elle est vide dans la sienne. La cible arithmétique qui reste déclarée en Chantier ([3.18]) est d’une autre nature : elle porte sur ce que les deux comptes (A, B) permettent de contrôler, dans la langue de l’hôte.

5.10 Ce que ce chapitre ne dit pas

Il ne dit pas que l’hypothèse de Riemann est démontrée dans la langue de l’hôte : il dit pourquoi elle y reste ouverte, et pourquoi elle est fermée dans le cadastre. Il ne revendique aucune des identités : le produit est d’Euler (1737), la factorisation unique est démontrée chez Gauss (1801), la somme π²/6 est d’Euler (1734), les zéros de Hurwitz sont de Davenport et Heilbronn (1936), la grille et ses quatre familles sont déjà au corpus, l’énumération des briques est de la Genèse. Il ne juge ni Euler ni Gauss : chacun a donné ici ce que le corpus garde. Ce qu’il apporte est une lecture, déclarée telle : le produit garde les tours ; il est l’inverse du repliement ; ses deux premiers facteurs sont la grille ; la clôture est ce que le produit et le cadastre ont en commun ; et le quatrième terme est le 4 orphelin, que seul le continu loge.

5.11 Pour un enfant

Chaque nombre est une maison construite avec des briques, et les briques sont les nombres premiers : 12, c’est deux briques de 2 et une brique de 3. La somme compte toutes les maisons, l’une après l’autre. Le produit compte les briques, et pour chaque brique combien de fois on l’a prise. Les deux comptes donnent le même résultat, parce que chaque maison n’a qu’une seule recette.

Si l’on enlève toutes les briques de 2 et toutes les briques de 3, les maisons qui restent sont toutes collées à un multiple de 6, juste avant ou juste après : 5 et 7, 11 et 13, 17 et 19. C’est là que vivent tous les autres nombres premiers.