Chapitre 13. La lignée du zéro : huit dates relues

Comment un signe de position est devenu la brique initiale du nombre.

« Le corpus date des gestes ; il ne juge pas des hommes. »

Cette pièce (5 octobre 2026) restitue, sur huit dates relues une à une contre leurs sources, la lignée par laquelle le zéro, sceau d’un tour accompli, est devenu un habitant de la suite des nombres, puis son origine. C’est la lignée des dix gestes (chapitre 1) relue sur un seul objet. Deux dates que le corpus portait ailleurs sont redressées ici (Euler, Peano), et chacune redresse dans le sens de la thèse : le fondateur de l’axiomatique a commencé à 1, et la règle du produit nul est antérieure de onze siècles à celui à qui le corpus l’attribuait. Pour chaque date, on donne le geste, puis ce qui est jeté ou ce qui est gardé. L’ordre des dates est vérifié (Annexe D).

13.1 628, Brahmagupta, Brāhmasphuṭasiddhānta, chapitre 18

Le geste. Le zéro reçoit ses règles d’opération explicites, dont le produit nul, a × 0 = 0, et a − a = 0.

Ce qui est jeté. Le sceau, qui marquait une position, est injecté dans la suite comme habitant. C’est le premier geste ; tous les autres en héritent. (Le chapitre 12, §V, lit le śūnya de Brahmagupta comme un témoin d’annulation, et situe la corruption dans la lecture postérieure ; les deux lectures s’accordent sur la date : c’est en 628 que le zéro reçoit des règles et entre dans la suite.)

É 13.1 · F · Brahmagupta, 628. Le Brāhmasphuṭasiddhānta (628), chapitre 18, donne les règles d’opération du zéro, dont a × 0 = 0 et a − a = 0.

13.2 1202, Fibonacci, Liber Abaci

Le geste. L’incipit : « Novem figure indorum he sunt 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Cum his itaque novem figuris, et cum hoc signo 0, quod arabice zephirum appellatur, scribitur quilibet numerus. » Les neuf figures indiennes sont 9 8 7 6 5 4 3 2 1 ; avec ces neuf figures, et avec ce signe 0, appelé zephirum en arabe, on écrit tout nombre.

Ce qui est gardé. Neuf figures et un signe. Fibonacci ne compte pas dix chiffres : il en compte neuf, et un sceau qui donne leur adresse. Le savoir est intact à cette date ; c’est après lui qu’on l’a oublié. Les Tables Natives (Volume 3, Le Code et le Registre) montrent que toute écriture attestée fait de même.

É 13.2 · F · L’incipit du Liber Abaci (1202). Fibonacci distingue les neuf figures (9 à 1) et le signe 0, zephirum.

É 13.3 · L · Neuf figures et un sceau. Le zéro de Fibonacci est un signe de position, non un dixième chiffre : à cette date, le savoir est intact.

13.3 1494, Luca Pacioli, Summa de arithmetica

Le geste. La comptabilité en partie double est formalisée : chaque transfert s’écrit deux fois, un débit et un crédit.

Ce qui est gardé. « Le grand livre refuse le néant. » Le 1 qui part et le 1 qui arrive se répondent ; le 0 de clôture dit que les deux écritures se correspondent, et la somme de ce qui est écrit vaut 2. C’est 1 − 1 = 11 en pratique depuis cinq siècles. « Les marchands n’ont pas inventé le vide ; ils sont les seuls à avoir refusé de l’écrire. »

É 13.4 · F · Pacioli, 1494. La Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità (Venise, 1494) contient la première exposition imprimée de la comptabilité en partie double.

É 13.5 · L · 1 − 1 = 11. Dans la partie double, le solde nul atteste que deux écritures se répondent ; il ne marque pas un néant (Volume 1, La Fondation, et Volume 3, pour la notation 1 − 1 = 11).

13.4 1585, Simon Stevin, De Thiende

Le geste. La fraction décimale, adressée en toutes lettres aux « arpenteurs, jaugeurs de vin, maîtres de monnaie et marchands de toute sorte », avec la proposition d’une monnaie décimale. La traduction anglaise de 1608, Disme, inspira la proposition de monnaie décimale de Jefferson.

Ce qui est jeté. Stevin fut teneur de livres et caissier à Anvers : il écrit depuis l’intérieur du grand livre de Pacioli, et il y installe un reste qui ne ferme plus. Un tiers devient une queue sans fin. La décimale reste légitime pour une mesure ; elle cesse de l’être pour une relation (Le Code, II.2 ; cas Patriot et Vancouver, Volume 3).

É 13.6 · F · Stevin, 1585. De Thiende (Leyde, 1585) expose les fractions décimales et propose leur usage pour la monnaie et les mesures ; traduction anglaise Disme (1608) ; Stevin fut employé comme teneur de livres et caissier à Anvers (MacTutor).

É 13.7 · L · La décimale, légitime pour une mesure. La décimale convient à la mesure et cesse de convenir à la relation : elle installe un reste qui ne ferme plus.

13.5 1748, Leonhard Euler, Introductio in analysin infinitorum

Le geste. L’infini et l’infiniment petit sont posés comme objets de calcul ; e est défini comme limite.

Ce qui est redressé (G.58). Le corpus attribuait à Euler en 1748 la formalisation de a × 0 = 0. Cette règle est de Brahmagupta (628). Quand Euler traite le zéro, dans les Éléments d’algèbre (1770), il hérite du geste indien, avec l’autorité de la formalisation moderne en plus. Ce qu’Euler apporte en propre est l’infini comme objet (Les Deux Euler, verso, chapitre 14).

É 13.8 · F · Euler, 1748 et 1770. Introductio in analysin infinitorum (1748) : l’infini et e comme limite ; Vollständige Anleitung zur Algebra (Éléments d’algèbre, 1770) : le traitement du zéro, hérité de Brahmagupta.

13.6 1801, Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones Arithmeticae, article 1

Le geste. La congruence : a ≡ b quand a − b est multiple de n ; le système des restes de 0 à n − 1 ; donc 9 ≡ 0 pour n = 9.

Ce qui est jeté. Le pli sans colonne : a − b = 9k, et k est jeté (La Cascade et la Cloche, section 6 ; Volume 4). Gauss emploie aussi les « restes absolument plus petits », symétriques autour de 0 : il place un centre à 0 là où le cadastre a son centre vide à 4,5. La date tient.

É 13.9 · F · Gauss, 1801. Les Disquisitiones Arithmeticae, article 1, définissent la congruence ; Gauss y emploie les restes de 0 à n − 1 et les « restes absolument plus petits », de −n/2 à n/2.

É 13.10 · L · Le pli sans colonne. Écrire a ≡ b, c’est garder la relation a − b = 9k en jetant k, le compte des tours ; centrer les restes sur 0 place un centre occupé là où le cadastre a un centre vide.

13.7 1889, Giuseppe Peano, Arithmetices principia, nova methodo exposita

Le geste. Première axiomatique de l’arithmétique.

Ce qui est gardé, et redressé (G.57). Le corpus datait de 1889 l’axiome « zéro est un nombre naturel ». À cette date, le premier axiome de Peano est 1 ∈ N : la suite commence à 1, et le zéro reste hors d’elle. Le fondateur de l’axiomatique a commencé du côté de la lignée du 1, celle de Fibonacci.

É 13.11 · F · Peano, 1889. Dans les Arithmetices principia (1889), le premier axiome est 1 ∈ N.

13.8 1908, Giuseppe Peano, Formulario mathematico

Le geste. Réécriture des axiomes : le premier terme devient 0.

Ce qui est jeté. Dix-neuf ans après son premier texte (la pièce d’origine arrondit à vingt), Peano fait basculer le signe dans la suite. Le sceau de position est assimilé à la brique initiale ; la lignée commence au vide. C’est l’état que les manuels tiennent aujourd’hui pour évident, et qui a mis douze siècles et huit mains à se faire.

É 13.12 · F · Peano, 1908. Dans le Formulario mathematico (édition de 1908), le premier axiome est 0 ∈ N.

13.9 La lignée en une ligne

É 13.13 · Th · L’ordre des dates. 628 < 1202 < 1494 < 1585 < 1748 < 1801 < 1889 < 1908 ; 1748 − 628 = 1120 ans (onze siècles) ; trois gestes gardent et cinq jettent ; la suite est jeté, gardé, gardé, jeté, jeté, jeté, gardé, jeté (vérifié, Annexe D).

Trois gestes gardent (Fibonacci, Pacioli, Peano en 1889), cinq jettent, et chaque groupe de gestes qui gardent est suivi d’un geste qui jette (la pièce d’origine écrit « chacun de ceux qui gardent », ce que Fibonacci, suivi de Pacioli, dément ; correction en Annexe B). « La lignée n’est pas une chute : c’est une suite de réparations, chacune prolongeant la précédente, et à chaque fois une colonne du livre en moins. Ce que le corpus propose n’est pas de revenir à 628 ; c’est de rendre la colonne. »

É 13.14 · L · Rendre la colonne. La lignée du zéro est une suite de réparations qui perdent chacune une colonne ; le corpus propose de rendre la colonne, non de revenir à 628.

13.10 Ce que cette pièce ne dit pas

Elle ne dit pas que ces huit auteurs se sont trompés : chacun a résolu le problème qu’il avait devant lui avec les outils de son temps, et leurs résultats restent vrais dans leur registre. Elle dit où, à chaque date, une distinction a été perdue (signe et chiffre, sceau et vide, position et tours), et que ces distinctions se refont au crayon (Les Tables Natives ; Le Code ; La Cascade et la Cloche ; Volumes 3 et 4).

13.11 Gravures pour le Registre des Erreurs (version 1.2)

Ces trois gravures sont versées au Registre des Erreurs (Volume 3, Le Code et le Registre) ; elles sont reproduites ici parce qu’elles appartiennent à cette pièce.

G.57 La date de l’axiome de Peano. Retiré : « Peano, 1889 (premier axiome : zéro est un nombre naturel) » (R.3). Remplacé par : Peano 1889, premier axiome 1 ∈ N ; Peano 1908 (Formulario mathematico), premier axiome 0 ∈ N. Le fondateur de l’axiomatique a tenu le zéro hors de la suite pendant près de vingt ans. Sources : Arithmetices principia (1889) ; Formulario mathematico (1908).

G.58 La règle du produit nul attribuée à Euler. Retiré : « Euler, 1748 (0 × a = 0, le symbole de l’accomplissement transformé en symbole de destruction) » (R.3 ; Completeness Principle, Crime 4). Remplacé par : Brahmagupta 628 pour la règle ; Euler 1748 pour l’infini comme objet et e comme limite ; Euler 1770 (Éléments d’algèbre) pour l’héritage de la règle avec l’autorité moderne. La lecture (le sceau devenu symbole de destruction) est conservée ; seule l’adresse change.

R.3, ligne « Posée », corrigée. « Brahmagupta, 628 (le zéro reçoit ses règles, dont a × 0 = 0 : injecté dans la suite comme habitant) ; Fibonacci, 1202 (neuf figures et un signe : le savoir intact) ; Euler, 1748 (l’infini comme objet) et 1770 (le zéro hérité de Brahmagupta) ; Peano, 1889 (1 ∈ N) puis 1908 (0 ∈ N). »

Au 5 octobre 2026 : vérifications exécutées au build, 8, zéro échec. Les dates de Peano et de Stevin ont été relues contre deux références publiques (l’article encyclopédique sur les axiomes de Peano et la notice MacTutor de Simon Stevin) ; les autres contre les pièces du corpus.