Annexe D : Vérifications refaites
Tous les calculs ci-dessous ont été refaits en Python, en arithmétique entière ou en fractions exactes, par le script verif.py joint au volume (88 vérifications, aucun échec après rectification des trois énoncés signalés à l’Annexe B). La liste est courte : ce qui a été recalculé, et le résultat.
| Énoncé | Ce qui a été recalculé | Résultat |
|---|---|---|
| É 1.2 | pli du segment 1-8 en 4,5, en 4 et en 5 | fermé en 4,5 seulement |
| É 3.4 | clôtures impaires N < 200 dont le cycle n’a qu’un sous-cycle propre | 9, 25, 49, 121, 169 ; seule 9 divisible par 3 |
| É 5.3, 5.4 | fermeture des briques 2 et 3 par + et × sans répétition collée, jusqu’à 30 | manquent exactement 1 et 4 ; 1 = 3 − 2, 4 = 2 × 3 − 2 |
| É 3.2, 3.3 | racines des 200 premières puissances de 2 ; poids binaires | cycle 1, 2, 4, 8, 7, 5 ; axe jamais touché ; repli en trois pas |
| É 3.5 | n − DR(n) multiple de 9 pour n ≤ 500 000 | vrai |
| É 6.5 | loi des miroirs à deux et trois chiffres ; écart miroir multiple de 9 jusqu’à 10⁶ | vrai, sans exception |
| É 6.12, 4.4 (v) | DR(x²) = DR((9 − x)²) ; racines des carrés 1 à 9 | vrai ; 1, 4, 9, 7, 7, 9, 4, 1, 9 |
| É 5.6, 5.9, 5.10 | parfaits sous 10⁴ ; somme et produit des diviseurs propres sous 10⁵ | 6, 28, 496, 8128 ; seul 6 ; 28, 496, 8128 de racine 1 |
| É 16.10 | p² − 1 multiple de 24 pour tous les premiers de 5 à 10⁵ | vrai |
| É 16.11 | entiers n ≤ 200 dont tous les inversibles sont leur propre inverse | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 |
| É 6.7, 6.8 | 198 = 2 × 9 × 11 ; 891 − 198 = 693 = 7 × 99 ; 1089 = 33² ; 694 − 496 ; 28 + 27 + 26 = 81 ; 595 | vrai |
| É 6.3 | inverses multiplicatifs (racine 1) sur 1 à 8 | (1, 1), (2, 5), (4, 7), (8, 8) |
| É 10.7, 10.8 | primalité de 59, 19, 11 ; bases à clôture p² et interface première | premières ; seule base : 10 (démonstration par la division par 3) |
| É 4.3, 4.4 | homomorphisme de DR (a, b < 300) ; les sept structures de la table, dont les 72 cas d’équivariance et les sommes 99 999 999 | vrai ; DR((9 − a)b) = 9 − DR(ab) seulement hors clôture (et 9 quand DR(ab) = 9) |
| É 4.7 | positions de la grille 234 / 567 / 891 | centre 6 ; cardinales 3, 5, 7, 9 ; colonnes G, axe, D |
| É 4.9 | attracteurs de la somme itérée des carrés des chiffres, n < 1000 | 1 et le cycle 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20 |
| É 11.8, 11.10 | sommes angulaires de 3 à 199 côtés ; 3 × 120, 2 × 135 | racine 9 partout ; 360 ; 270 |
| É 11.2, 7.8 | r²/R² du carré ; 4,5/9 et 3,5/7 en fractions exactes | 1/2 |
| É 11.12 | r/R = cos(π/n) pour n = 3 à 9 ; polynôme de cos(π/7) | 1/2, φ/2… ; 8x³ − 4x² − 4x + 1 (et non le polynôme de la source) ; octogone ≠ 3/8 |
| É 11.14 | Kaprekar de 45, 4950, 499 500 ; sommes avec 55, 5050, 500 500 | vrai ; 10², 10⁴, 10⁶ |
| É 8.3 | périodes décimales de 1/k, k = 1 à 9 ; 142857 × 7 ; permutations k/7 | seule 1/7 a 6 chiffres ; 999 999 ; vrai |
| É 8.1, 5.12, 5.14 | DR(16), DR(25) ; triangulaires T1 à T9 et racines ; colonnes 12, 15, 18 | 7, 7 ; 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45 ; 3, 6, 9 |
| É 3.7 | puissances parfaites consécutives jusqu’à 10⁷ | une seule paire : (8, 9) |
| É 16.26, 9.1, 9.3 | Kaprekar à quatre chiffres sur les 9000 nombres ; 495 ; 6174 = 18 × 7³ | 8991 aboutissent à 6174 ; 954 − 459 = 495 ; vrai |
| É 16.13 | période de Pisano pour 9 ; sommes | 24 ; douze premiers termes : 43 ; période complète : 99 |
| section 16.12 (rotor), É 16.19, 16.22, 16.9 | racines des premiers 5 à 23 ; écarts des carrés en multiples de 24 ; nombres magiques ; Pb 208 et 184 ; angles de liaison ; 108 | 5, 7, 2, 4, 8, 1, 5 ; 1, 3, 2, 5, 3, 7 ; 2, 8, 2, 1, 5, 1, 9 ; 1, 9, 1, 4 ; 1, 6, 8, 9 ; 108 = 137 − 29, racine 9 |
| É 16.4 | décompte des éléments des régions directes | 47 (et non 46) |
| É 15.11 | pliage pour a < 10 000 | vrai exactement quand 3 ne divise pas a |
| É 15.12, 15.13 (Annexe B) | 4 × 1/2 × √2 ; simulation de 20 000 tirages du protocole S² tel qu’écrit, à 60° | 2√2 ; corrélation −1 (et non −1/2) |
| É 7.11, 7.12 | largeurs du sablier ; combinaison CHSH aux réglages 0°, 45°, 90°, 135° | 7, 5, 3, 1, somme 16 ; 2√2 = 2,828427… |
| É 12.2 | 1/3 contre 0,3333 après cent multiplications par 3, en fractions exactes | écart ≈ 1,72 × 10⁴³ |
| É 8.5, 4.9, 8.4 | 22/7 = 11/3,5 ; 3² − 1 = 8 ; 3 + 8 = 11 ; 8 − 1 = 7 | vrai |
| É 17.10 | 2 + 4 + 5 + 7 + 8 et 2 × 4 × 5 × 7 × 8 | 26 (racine 8) ; 2240 (racine 8) |
| É 6.10 | 23 + 23, racines de 23, 46, 64 ; 64 = 4³ = 2⁶ | 46 ; 5, 1, 1 ; vrai |